Wirtschaftsinformatik (Bachelor-Studiengang): Betriebswirtschaftslehre (2. Semester)

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MR / CM, Kurs vom 01.10.2002 - 31.03.2003

Betriebswirtschaftslehre (Investition und Finanzierung): Dynamische Methoden der Investitionsrechnung: Finanzmathematische Grundlagen (Barwert, Endwert, Jahreswert), Kapitalwertmethode (Die jährlichen Überschüsse sind unterschiedlich hoch, Die jährlichen Überschüsse sind bei begrenzter Nutzungsdauer gleichbleibend (selten!), Die jährlichen Überschüsse sind gleichbleibend, aber die Nutzungsdauer des Investitionsobjektes ist nicht bestimmbar.), Interne Zinsfußmethode (Durch eine graphische Lösung, Durch eine rechnerische Lösung), Annuitätenmethode (Bei zeitlicher Nutzungsbegrenzung, Bei zeitlich unbegrenzt nutzbaren Investitionsobjekten).

1. Finanzmathematische Grundlagen
2. Kapitalwertmethode
3. Interne-Zinsfußmethode
4. Annuitätenmethode

Finanzmathematische Grundlagen

Barwert

Gegenwartswert von Zahlungen, der sich durch Abzinsung ergibt.

Er zeigt, welchen Wert eine oder mehrere während einer Betrachtungsperiode geleisteten Zahlungen zu Beginn der Betrachtungsperiode haben.

Schema bei einmaliger Zahlung:

Bildbeschreibung "Barwert: Schema bei einmaliger Zahlung": Betrachtung eines Zeitraumes von fünf Jahren. Der Startwert, auch als Barwert bezeichnet, wird abgebildet durch K₀, der Endwert durch K_n. Der Endwert fließt in die Berechnung ein.

Der Barwert (K₀) ergibt sich durch Multiplikation des Endwertes (K_n), das ist der Zeitwert der Zahlung, mit dem Abzinsungsfaktor.

K₀ = K_n × (1 ÷ qⁿ)
oder
K₀ = K_n × [1 ÷ (1 + i)ⁿ]

Beispiel:

Am Ende des 6.Jahres soll bei Verzinsung von 8 % ein Kapital von 20.000 € zur Verfügung stehen.

K₀ = 20.000 × 0,630170 = 12.603,40

Abzinsungsfaktor = 1 ÷ qⁿ

wobei:

p = Zinssatz in % z.B. 5
i = Zinssatz in % ÷ 100, also hier 0,05
q = 1 + i, in diesem Beispiel also 1,05
qⁿ = Aufzinsungsfaktor;
n = Anzahl der Jahre = 1,05 × 1,05 × 1,05 ...

Schema bei mehrmaliger Zahlung gleich hoher Zahlungsbeträge am Ende jeder Periode (= 1 Jahr):

Bildbeschreibung "Barwert: Schema bei mehrmaliger Zahlung": Betrachtung eines Zeitraumes von fünf Jahren. Der Zeitwert zu Ende jedes Jahres fließt in die Berechnung mit ein.

Der Barwert ergibt sich durch Multiplikation des Zeitwertes der einzelnen Zahlungen mit dem Barwertfaktor.

K₀ = e × [[qⁿ − 1] ÷ [qⁿ (q − 1)]]
oder
K₀ = e × [[(1 + i)ⁿ − 1] ÷ [i (1 + i)ⁿ]]
e = Einzahlungen (Auszahlungen)
Barwert = [qⁿ − 1] ÷ [qⁿ(q − 1)]

Der Barwert wird auch bezeichnet als:

• Diskontierungssummenfaktor
• Abzinsungssummenfaktor
• Kapitalisierungsfaktor

Beispiel: Ein Grundstück wird auf 10 Jahre gepachtet. Der jährliche Pachtzins soll 1.350 € betragen. Es wird ein Zinssatz von 8 % angenommen.

Frage: Wie hoch wäre der Zahlungsbetrag, wenn die gesamte Pachtsumme auf einmal zu Beginn der Pachtdauer gezahlt würde?

K₀ = 1.350 € × 6,710081 = 9.058,61 €

Endwert

Von Ein- und Auszahlungen ist der Wert, der sich durch Aufzinsung ergibt. Er zeigt, welchen Wert eine oder mehrere während einer Betrachtungsperiode geleisteten Zahlungen am Ende der Betrachtungsperiode aufweisen.

Schema bei einmaliger Zahlung:

Bildbeschreibung "Endwert: Schema bei einmaliger Zahlung": Betrachtung eines Zeitraumes von fünf Jahren. Der Anfangswert fließt in die Berechnung mit ein.

Der Endwert ergibt sich durch Multiplikation des Zeitwertes der Zahlung mit dem Aufzinsfaktor *)

K_n = K₀ × (1+i)ⁿ
oder
K_n = K₀ × qⁿ

*) qⁿ = Aufzinsungsfaktor

Beispiel:

Ein Gesellschafter einer GmbH stellt dem Unternehmen ein Darlehen von 20.000 € zu 8 % zur Verfügung.

Frage: Wie hoch ist der Zahlungsbetrag von Tilgung und Zinsen zum Ende des 5.Jahres?

K₅ = 20.000 € × 1,469328 = 29.387 €

Schema bei mehrmaliger Zahlung:

Bildbeschreibung "Endwert: Schema bei mehrmaliger Zahlung": Der Zeitwert zu Ende jedes Jahres fließt in die Berechnung mit ein.

Der Endwert ergibt sich durch Multiplikation des Zeitwertes jeder Zahlung mit dem Endwertfaktor

K_n = e × [(qⁿ − 1) ÷ (q − 1)]
oder
K_n = e × [[(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i]

Beispiel: Am Ende eines jeden Jahres werden 1.000 € bereitgestellt. Der Zinssatz beträgt 5 %.

Frage: Wie groß ist der Endwert am Ende des 10.Jahres?

K₁₀ = 1.000 € × 12,577893 = 12.578 €

Jahreswert

Die jährlich in gleicher Höhe anfallenden Werte von Zahlungen, die sich aus einem bestimmten entweder auf den Beginn oder das Ende der Vergleichsperiode bezogenen Wert ergeben.

Schema für Bezugnahme auf den Beginn der Vergleichsperiode, das heißt, ein jetzt fälliger Betrag soll in mehreren gleich hohen Teilbeträgen am Ende jeder Periode (= 1 Jahr) gezahlt werden:

Bildbeschreibung "Jahreswert: Schema für Bezugnahme auf den Beginn der Vergleichsperiode": Aufsplittung des Startwertes in mehrere Teilbeträge, abgebildet zum jeweiligen Jahresende.

Die Höhe der Teilbeträge ergibt sich durch Multiplikation des jetzt fälligen Betrages mit dem Kapitalwiedergewinnungsfaktor *)

e = K₀ × [[qⁿ(q − 1)] ÷ (qⁿ − 1)]
oder
e = K₀ × [[i (1 + i)ⁿ] ÷ [(1 + i)ⁿ − 1]]
Kapitalwiedergewinnungsfaktor = [qⁿ (q − 1)] ÷ (qⁿ − 1)

Beispiel: Ein sehr zukunftsbedachter Frührentner will sich eine jetzt fällige Versicherungssumme von 80.000 € in 10 jährlichen Raten bei einem 8 %igen Zinssatz auszahlen lassen.

80.000 € × 0,149029 = 11.922 €

Schema für Bezugnahme auf das Ende der Vergleichsperiode, das heißt, ein später fälliger Betrag soll in mehreren davor liegenden gleich hohen Teilbeträgen am Ende jeder Periode gezahlt werden:

Bildbeschreibung "Jahreswert: Schema für Bezugnahme auf das Ende der Vergleichsperiode": Aufsplittung des Endwertes in mehrere Teilbeträge, abgebildet zum jeweiligen Jahresende.

Die Höhe der Teilbeträge ergibt sich aus der Multiplikation des zu dem späteren Zeitpunkt fälligen Betrages mit dem Restwertverteilungsfaktor *)

e = K_n × [(q − 1) ÷ (qⁿ − 1)]
oder
e = K_n × [i ÷ [(1 + i)ⁿ − 1]]
Restwertverteilungsfaktor = (q − 1) ÷ (qⁿ − 1)

Beispiel: Am Ende des 5.Jahres ist an eine leitende Angestellte ein Betrag von 20.000 € bereitzustellen. Auf Wunsch des Berechtigten soll der Betrag zuvor in 5 gleich große Raten zum jeweiligen Jahresende zur Auszahlung kommen. Zinssatz 8 %.

20.000 € × 0,170457 = 3.409 €

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Kapitalwertmethode

Kapitalwert:

Differenz einer Investition zwischen dem Barwert der investitionsbedingten Einzahlungen (e) einschl. Liquidationserlös und dem Barwert der investitionsbedingten Auszahlungen (a), einschl. Anschaffungswert:

Der Kapitalwert C₀ ist Maßstab der Vorteilhaftigkeit. Ist der Kapitalwert = 0, so ist die Investition unter den unterstellten Zinsbedingungen vorteilhaft.

• einzelne Objekte,
• alternative Objekte und
• das Finden optimaler Ersatzzeitpunkte.

Bei der Beurteilung eines Einzelobjektes können 3 verschiedene Situationen vorliegen:

Die jährlichen Überschüsse sind unterschiedlich hoch

Ein eventueller Liquidationserlös (L) wird abgezinst und in die Formel eingefügt.

C₀ = [(e₁ − a₁) ÷ q + (e₂ − a₂) ÷ q² + ... + (e_n − a_n) ÷ qⁿ] − a₀
C₀ = [(e₁ − a₁) ÷ q + (e₂ − a₂) ÷ q² + ... + (e_n − a_n) ÷ qⁿ + L ÷ qⁿ] − a₀

Die Berechnung des Kapitalwertes erfolgt tabellarisch.

Beispiel: Die Anschaffungskosten eines Investitionsobjektes betragen 100.000 €. Es ist 5 Jahre nutzbar. Der Kalkulationszinssatz ist mit 8 % festgelegt. Die geschätzten Ein- und Auszahlungsreihen sind:

Hinweis: Die Investition ist wegen ihres positiven Kapitalwertes von Vorteil.

Die jährlichen Überschüsse sind bei begrenzter Nutzungsdauer gleichbleibend (selten!)

Hier kann auf eine aufwendige tabellarische Ermittlung des Kapitalwertes verzichtet werden. Die Ermittlung erfolgt mithilfe des Barwertfaktors:

C₀ = ü × [[qⁿ − 1] ÷ [qⁿ(q − 1)]] − a₀
Barwertfaktor = [qⁿ − 1] ÷ [qⁿ(q − 1)]

Beispiel: Eine neue Betriebs- und Geschäftsausstattung kostet 150.000 €. Sie ist nach sicherer fachmännischer Schätzung 10 Jahre nutzbar. Die durch sie erzielbaren jährlichen Überschüsse betragen gleichbleibend 22.200 €. Es wird ein Kalkulationszinssatz von 8 % festgelegt.

C₀ = 22.200 € × 6,710081 − 150.000 € = − 1.036,20 €

Hinweis: Der Kapitalwert ist negativ. Somit ist die geplante Investition nicht vorteilhaft.

Auch hier kann ein möglicher Liquidationserlös abgezinst und dem Barwert der Überschüsse zugerechnet werden:

C₀ = ü × [[qⁿ − 1] ÷ [qⁿ(q − 1)]] + [L ÷ qⁿ] − a₀

Die jährlichen Überschüsse sind gleichbleibend, aber die Nutzungsdauer des Investitionsobjektes ist nicht bestimmbar.

In diesen Fällen kann folgende Berechnung erfolgen:

C₀ = ü × (1 × i) − a₀

Beispiel: Ein zu erwerbendes Grundstück hat einen Anschaffungswert von 80.000 €. Die jährlichen Mieteinnahmen betragen 6.600 € und die Nutzungsdauer ist unbestimmt. Wir rechnen mit einem Kalkulationssatz von 8 %.

C₀ = 6.600 € × (1 ÷ 0,08) − 80.000 € = 2.500 €

Hinweis: Die Investition ist vorteilhaft, denn C₀ > 0.

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Interne Zinsfußmethode

Interner Zinsfuß:

Jener Zinssatz, der beim Diskontieren der Einzahlungs- und Auszahlungsreihen eines Investitionsobjektes zu einem Kapitalwert = 0 führt.

Ein eventueller Liquidationserlös ist abzuzinsen und den Überschüssen hinzuzufügen.

0 = (e₁ − a₁) ÷ (1 + i) + (e₂ − a₂) ÷ (1 + i)² + ... + (e_n − a_n) ÷ (1 + i)ⁿ − a₀

Nach der Internen Zinsfußmethode ist ein Investitionsobjekt vorteilhaft, wenn der ermittelte interne Zinsfuß einer von der Unternehmensleitung vorgegebenen Mindestverzinsung entspricht oder darüber liegt.

r ≥ i_min
r = Interner Zinsfuß (%)

Die Ermittlung des internen Zinsfußes kann auf zwei Wegen erfolgen:

Durch eine graphische Lösung

Es werden für ein Investitionsobjekt zwei Kapitalwerte auf der Grundlage zweier frei gewählter Zinssätze, sog. "Versuchszinssätze" tabellarisch ermittelt.

Die beiden Kapitalwerte werden auf einer Waagerechten aufgezeichnet und messen sich mit ihren Versuchszinssätzen an einer im O-Bereich befindlichen Senkrechten.

Die beiden Kapitalwerte weren durch eine Gerade verbunden. Der Schnittpunkt der Geraden mit der Senkrechten zeigt den internen Zinsfuß.

Beispiel:

Unser Unternehmen benötigt sichere Aussagen darüber, ob das geplante Investitionsobjekt bei folgender Datenlage vorteilhaft ist:

Anschaffungswert: 100.000 €
Nutzungszeitraum: 5 Jahre
Kalkulationszinssatz: 9 %

Die tabellarische Ermittlung der Kapitalwerte ergibt:

bei Versuchszinssatz 8 %: 5.255 €
bei Versuchszinssatz 16 %: − 15.739 €

Bildbeschreibung "Abschluss der Investitions-Vorteilhaftigkeits-Schätzung": Darstellung der grafischen Lösung.

Hinweis: Das Investitionsobjekt ist vorteilhaft, denn es liegt mit 10 % über dem gewählten Kalkulationszinssatz von 9 %.

Durch eine rechnerische Lösung

Nach tabellarischer Ermittlung der Kapitalwerte von zwei Versuchszinssätzen (wie vorher) wird folgende Formel genutzt:

r = i₁ − C₀₁ × [(i₂ − i₁) ÷ (C₀₂ − C₀₁)]
r = 0,08 − 5.255 × [(0,16 − 0,08) ÷ (− 15.739 − 5.255)]
= 0,08 − 5.255 × [0,08/−20.994]
= 0,08 − 5.255 × (−0,000003811)
= 0,08 − (−0,020024769)
= 0,10

Bei zeitlich begrenzter Nutzung und gleichbleibenden jährlichen Überschüssen lässt sich mithilfe des Barwertfaktors der interne Zinsfuß auf einfache Weise errechnen.

Nach dem Barwertfaktor aufgelöst ergibt sich daraus:

0 = ü × [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ [i(1 + i)ⁿ] − a₀
[(1 + i)ⁿ − 1] ÷ [i(1 + i)ⁿ] = a₀ ÷ ü

Beispiel: Eine Anlage hat einen Anschaffungswert von 100.000 €. Die jährlichen Überschüsse betragen 18.000 €. Die Nutzungsdauer ist 10 Jahre. Kalkulationszinssatz 10 %.

[(1 + i)ⁿ − 1] ÷ [i(1 + i)ⁿ ] = a₀ ÷ ü
[(1 + i)⁸ − 1] ÷ [i(1 + i)⁸] = 100.000 ÷ 18.000 = 5,555556

In der entsprechenden Spalte der Zinstabelle findet sich ein Wert von 5,534819 in der 9 %-Tabelle. Das ist der nächstliegende Wert von 5,555556.

Hinweis: Bei einem angenommenen Zinssatz von 10 % gilt die Anlage als nicht vorteilhaft!

Bei unbestimmter Nutzungsdauer und gleichbleibenden jährlichen Überschüssen lässt sich der interne Zinsfuß auf einfache Weise ermitteln:

r = ü ÷ a₀

Beispiel: Das zu beschaffende Grundstück hat einen Anschaffungswert von 200.000 €. Die jährlichen Überschüsse betragen 24.000 €. Der im Unternehmen übliche Kalkulationszinssatz für Investitionsobjekte dieser Art beträgt 13 %.

r = 24.000 € ÷ 200.000 € = 0,12

Hinweis: Das zu beschaffende Grundstück ist nicht vorteilhaft!

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Annuitätenmethode

Die Annuitätenmethode ist eine Rechnung, die sich nicht auf den Totalerfolg, sondern auf einen jährlichen (anno) Periodenerfolg bezieht.

Arbeitsschritte:

1. Ermittlung des Kapitalwertes (C0)
2. Aufteilung in Annuitäten (gleiche Jahresbeträge) durch Multiplikation mit dem Kapitalwiedergewinnungsfaktor (d)

[qⁿ(q − 1)] ÷ [qⁿ − 1]

d = C₀ × [[qⁿ(q − 1)] ÷ [q_n − 1]]

Vorteilhaftigkeit = d ≥ 0

Beispiel: Die Anschaffung einer Maschine kostet 80.000 €. Der Kalkulationszinssatz soll 10 % betragen. Kein Liquidationserlös. Folgende erwartete Überschüsse:

d = 17.442 × 0,263797 = 4.601 €/Jahr

Hinweis: Das Investitionsobjekt ist vorteilhaft, da d > 0!

Vereinfachungen sind bei gleichbleibenden Überschüssen möglich:

Bei zeitlicher Nutzungsbegrenzung

d = ü − a₀ × [[qⁿ(q − 1)] ÷ [qⁿ − 1]]

Mit Liquidationserlös:

d = ü − (a₀ - L × (1 ÷ qⁿ) × [[qⁿ(q − 1)] ÷ (qⁿ − 1)]

Beispiel: Die neue Anlage im Betriebsteil A erbringt nach solider Schätzung jährlich gleichbleibende Überschüsse von 8.000 €. Die Anschaffung kostet 40.000 €. Kein Liquidationserlös. Kalkulationszinssatz 10 %.

d = 8.000 € − 40.000 € × 0,187444 = 502 € / Jahr

Bei zeitlich unbegrenzt nutzbaren Investitionsobjekten

Hier vereinfacht sich die Rechnung auf folgende Weise:

d = ü − a₀ × i

Beispiel: Ein kleines Lagergebäude hat einen Anschaffungswert von 20.000 €. Es wird mit einem gleichbleibenden jährlichen Überschuss von 1.900 € gerechnet. Der Kalkulationszinssatz beträgt 10 %.

d = 1.900 € − 20.000 € × 0,10 = − 100 € / Jahr

Hinweis: Die von diesem Objekt erwirtschaftete Annuität ist negativ, also nicht vorteilhaft.